Monty Hall problem

一部電影叫做「決勝21點」，是一部很有趣的片子，其中探討條件機率的問題


羅莎教授：如果你參加一個猜謎遊戲，有三道門讓你選擇其中一道，其中一道門後是車，另外兩道門後面是羊。選到車的就得到那部汽車，不然就得到羊。班‧坎貝爾先生，請問你選哪一道門？

班：我選擇1號門。

羅莎教授：主持人知道汽車在哪一道門後，他先打開後面為羊的3號門，然後問你要堅持選1號門，還是要換成2號門？你要如何選擇？

班：我本來選中車的機率是33.3%，但主持人開了一道門後情勢改變了，變成了66.7％，所以我選擇換成2號門。

羅莎教授：答對了！當情勢改變後，我們就要重新計算所有的可能性。大部分的人會因為害怕、恐慌及情緒而遲疑不敢做改變。坎貝爾先生不感情用事，而用簡單的數學來解決這個問題，所以得到一部嶄新的汽車，不用騎山羊上學了。
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為什麼重新選擇，獲得車的機率會提高呢？

統計學課本，貝氏定理(Bayes Theorem)是這樣說的 P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)
P(A)和 P(B) 分別是A 和B 兩個事件發生的機率，而P(A|B)就是在已知B 事件的情況下，A事件發生的機率。
事件A 是「1號門有獎金」，而事件B就是「主持人把2號門打開」。
P(A)=1/3︰P(A)就是1號門有獎金的機率，當然是1/3。

P(B|A)=1/2︰如果1 號門有獎金，主持人就要在2號和3 號之間隨便打開一扇，所以P(B|A)=1/2。 P(B)=1/2︰這是因為這兒有兩個可能性，第一個可能性是1號門有獎金，這樣「主持人把2號門打開」的可能性就是P(B|A)，也就是1/2，第二個可能性是3號門有獎金，這樣主持人只可以打開2號門，所以機率是1，所以P(B)=(1/2)(1/3)+(1)(1/3)=1/2
用公式就以可以計出 P(A|B)=P(1號門有獎金|主持人把2號門打開)=(1/2)(1/3)/(1/2)=1/3

所以堅持選擇1號門，贏得獎金的機率就只有1/3 ，但選擇轉到3 號門，勝出機率就會是2/3。